PERSAMAAN IRRASIONAL

PERSAMAAN IRRASIONAL

Persamaan Irrasional yaitu persamaan yang mengandung variabel di dalam tanda akar.
Perlu diingat bahwa :
Akar suatu bilangan positif adalah bilangan positif. Misalnya √9 = 3, √100 = 10, √9 ≠ 3
Semesta pembicaraan adalah bilangan nyata, maka bilangan di bawah tanda akar atau di dalam akar (kwadrat) harus positif atau nol. Missal, √(5-x) selalu terkait syarat bahwa 5 – x ≥ 0 atau x ≤ 5.

Biangan Rasional
{x/x= a⁄b ,a,b∈B,b≠0}

Bilangan Irrasional
{x/x≠ a⁄b ,a,b∈B,b≠0}

Penyelesaian Persamaan Irrasional
Penyelesaian persamaan irrasional dengan cara mengkuadratkan kedua ruas dengan DALIL
‘’Jika A = B dengan A > 0, B > 0, atau A < 0, B < 0, atau A = 0, B = 0, maka A^2 = B^2 ekuivalen dengan A = B’’

Contoh soal

√(x-2) + x = 14, tentukan nilai x-nya?
Penyelesaian :
√(x-2) + x = 14 diubah menjadi
√(x-2) = 14 - x
Syarat agar √(x-2) nyata adalah x -2≥ 0 maka x ≥ 2 …………(1)
Mereka harus positif atau nol maka 14 – x ≥ 0, maka x ≤ 14 ……………(2)

Dari pernyataan (1) dan (2) diperoleh
Sehingga syaratnya 2 ≤ x ≤ 14
Sehingga =
√(x-2) = 14 – x kedua ruas dikwadratkan
(√(x-2) )2 = (14 – x )2
x – 2= 196 – 28x + x2
x2 – 29x + 198 = 0
( x – 11 ) ( x – 18 ) = 0
X = 11 x = 18
Sesuai syarat yang ada maka x adalah 11
Selain syarat agar akar-akar nyata perlu diperhatikan tanda kedua ruas harus sama (positif atau negative).
Misal, √(3x-2) – √(x+7) = √(x-8) , maka diubah menjadi
√(3x-2) = √(x-8) + √(x+7)

Penyelesaiannya adalah
Syaratnya 3x – 2 ≥ 0 → x ≥ 2/3
X + 7 ≥ 0 → x ≥ -7
X – 8 ≥ 0 → x ≥ 8
Sehingga syaratnya x ≥ 8
√(3x-2) – √(x+7) = √(x-8)
√(3x-2) = √(x-8) + √(x+7)
(√(3x-2) )2 = (√(x-8) + √(x+7))2
3x – 2 = x – 8 + 2 . √(x-8) . √(x+7) + x + 7
3x – 2= 2x + 2 . √(x-8) . √(x+7) - 1
3x – 2x - 2 . √(x-8) . √(x+7) – 2 + 1 = 0
X - 2 . √(x-8) . √(x+7) - 1 = 0
X – 1 = 2 . √(x-8) . √(x+7) dikuadratkan lagi dengan syarat
X – 1 ≥ 0 → x ≥ 1
X – 8 ≥ 0 → x ≥ 8

(X – 1)2 = (2 . √(x-8) . √(x+7))2
X2 – 2x + 1 = 4 (x2 – x – 56)
X2 – 2x + 1 = 4x2 – 4x – 224
X2 – 4x2 – 2x + 4x + 1 + 224 = 0
-3x2 + 2x + 225 = 0
3x2 – 2x – 225 = 0
(3x + 25) (x – 9) = 0
X = - 25⁄3 , x = 9
Sesuai dengan syarat x ≥ 8 atau x ≥ 1 maka x-nya adalah 9.